ตัดมาจากหน้า 233 ของ E212 — Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum ซึ่งออยเลอร์ได้หาผลรวมอนุกรมที่คล้ายคลึงกันใน พ.ศ. 2298

ผลคูณโคชีชั้นที่สามของ 1 - 1 + 1 - 1 + … คือ 1 - 3 + 6 - 10 + … ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนสามเหลี่ยม โดยมีผลรวมอาเบลและผลรวมออยเลอร์เป็น 1/8[16] ผลคูณโคชีชั้นที่สี่ของ 1 + 1 - 1 + 1 - … คือ 1 - 4 + 10 - 20 + … ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนทรงสี่หน้า โดยมีผลรวมอาเบลเป็น 1/16

รูปแบบทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยคืออนุกรม 1 − 2n + 3n − 4n + … สำหรับจำนวนเต็มบวก n อนุกรมดังกล่าวจะสามารถหาผลรวมอาเบลได้ดังนี้:[17]

1 − 2 n + 3 n − ⋯ = 2 n + 1 − 1 n + 1 B n + 1 {\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}}

เมื่อ Bn เป็นจำนวนแบร์นูลลี สำหรับจำนวนเต็มบวกคู่ n = 2k ผลรวมจะสามารถลดรูปได้เป็น

1 − 2 2 k + 3 2 k − ⋯ = 0 {\displaystyle 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0}

ผลรวมสุดท้ายนั้นได้ถูกกล่าวถึงในเชิงขบขันโดย นีลส์ เฮนริก อาเบล ในปี พ.ศ. 2469:

อนุกรมลู่ออกล้วนแต่เป็นผลงานของปีศาจ และเป็นเรื่องน่าอายที่มีใครพยายามจะหาบทพิสูจน์ของมัน หากใครใช้มัน เขาจะไม่มีความสุขและจะสร้างแต่ข้อขัดแย้งจำนวนมาก ไม่มีสิ่งใดน่ากลัวไปกว่าการกล่าวว่า 0 = 1 − 2n + 3n − 4n + ... เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก นี่แหละเป็นสิ่งที่น่าขัน[18]

อาจารย์ของเชซะโร เออแฌน ชาร์ล กาตาล็อง เป็นผู้ที่ไม่สนใจในอนุกรมลู่ออกเช่นกัน ด้วยอิทธิพลของกาตาล็อง ในตอนแรกเชซะโรเคยเรียกสูตรทั่วไปของ 1 − 2n + 3n − 4n + ... ว่าเป็น "สมการที่น่าขัน" ต่อมาในปี พ.ศ. 2426 เขาได้แสดงความเห็นว่าสูตรนั้นผิดแต่มีประโยชน์ จนในที่สุด เมื่อ พ.ศ. 2433 เชซะโรจึงได้เริ่มศึกษาสูตรดังกล่าวด้วยวิธีสมัยใหม่ และได้ตีพิมพ์เป็นผลงานชื่อ Sur la multiplication des séries ("ว่าด้วยการคูณอนุกรม")[19]

ได้มีการศึกษาอนุกรมนี้สำหรับค่า n ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มด้วย ซึ่งนำไปสู่ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์ ส่วนหนึ่งของแรงบันดาลใจที่ทำให้ออยเลอร์ศึกษาอนุกรมที่เกี่ยวข้องกับ 1 − 2 + 3 − 4 + ... คือสมการเชิงฟังก์ชันของฟังก์ชันอีตา ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงฟังก์ชันฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ออยเลอร์ได้มีชื่อเสียงจากการหาค่าของฟังก์ชันดังกล่าวสำหรับจำนวนคู่ (รวมถึงปัญหาบาเซิล) และได้พยายามที่จะหาค่าของฟังก์ชันสำหรับจำนวนคี่ แต่ก็ยังไม่มีใครสามารถหาได้จนถึงปัจจุบัน ฟังก์ชันอีตานั้นง่ายกว่าที่จะจัดการด้วยวิธีของออยเลอร์ เนื่องจากลำดับดิริชเลต์ของมันสามารถหาผลรวมอาเบลได้ในทุกจุด ในขณะที่ฟังก์ชันซีตานั้นหาผลรวมได้ยากในจุดที่มันลู่ออก[20] ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันซีตาของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... คืออนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ ซึ่งต้องใช้วิธีการที่ยากมากในการหาผลรวม